Intrinsic character of Stokes matrices

Two germs of linear analytic differential systems $x^{k+1}Y^\prime=A(x)Y$ with a non resonant irregular singularity are analytically equivalent if and only if they have the same eigenvalues and equivalent collections of Stokes matrices. The Stokes matrices are the transition matrices between sectors on which the system is analytically equivalent to its formal normal form. Each sector contains exactly one separating ray for each pair of eigenvalues. A rotation in $S$ allows supposing that $\mathbb R^+$ lies in the intersection of two sectors. Reordering of the coordinates of $Y$ allows ordering the real parts of the eigenvalues, thus yielding triangular Stokes matrices. However, the choice of the rotation in $x$ is not canonical. In this paper we establish how the collection of Stokes matrices depends on this rotation, and hence on a chosen order of the projection of the eigenvalues on a line through the origin.Comment: 10 pages, 3 figure

On sparsity, power-law and clustering properties of graphex processes

This paper investigates properties of the class of graphs based on exchangeable point processes. We provide asymptotic expressions for the number of edges, number of nodes and degree distributions, identifying four regimes: (i) a dense regime, (ii) a sparse almost dense regime, (iii) a sparse regime with power-law behaviour, and (iv) an almost extremely sparse regime. We show that under mild assumptions, both the global and local clustering coefficients converge to constants which may or may not be the same. We also derive a central limit theorem for the number of nodes. Finally, we propose a class of models within this framework where one can separately control the latent structure and the global sparsity/power-law properties of the graph

The median of a jittered Poisson distribution

Let $N_\lambda$ and $U$ be two independent random variables respectively distributed as a Poisson distribution with parameter $\lambda >0$ and a uniform distribution on $(0,1)$. This paper establishes that the median, say $M$, of $N_\lambda+U$ is close to $\lambda +1/3$ and more precisely that $M-\lambda-1/3=o(\lambda^{-1})$ as $\lambda\to \infty$. This result is used to construt a very simple robust estimator of $\lambda$ which is consistent and asymptotically normal. Compared to known robust estimates, this one can still be used with large datasets ($n\simeq 10^9$)

Question sociale et Économie sociale : l'adaptation permanente

Article en ligne : http://www.chorum.fr/mediaServe/Texte+FR+4-11-09+pour+site.pdf?ixh=1384943248929194092Bien malin celui qui peut dire aujourd'hui, en novembre 2008, si le modèle français de l'Etat providence, si controversé ces dernières années, va être réhabilité ou au contraire subir de nouveaux coups de boutoir ! Le mélange sophistiqué qu'il opère depuis des décennies entre redistribution horizontale (par le système d'assurances mutuelles) et redistribution verticale (par le système fiscal) se déplace, comme la question sociale, au gré d'un contexte social instable et toujours en mouvement. C'est ce que d'aucuns appellent la crise permanente de l'État providence. En fait, n'est-ce pas la notion de progrès social qui devrait être revitalisée par un débat permanent dans un monde qui bouge et se transforme. « Nous comprenons peut-être mieux aujourd'hui que l'État ne peut pas tout et qu'il faut restaurer une plus grande continuité entre l'action individuelle et l'action collective. » Cette citation, en 1995, de Pierre Rosanvallon donnait un plaisant écho à des propos ministériels qui datent de 1894 : « C'est une idée très fausse et encore trop répandue de tout attendre de l'État, en matière d'enseignement comme en beaucoup d'autres. Là, surtout, l'État a fait ce qu'il avait à faire ; le reste dépend du bon vouloir de tous et de l'initiative de chacun.[...] ». Le temps de l'économie sociale est-il venu ? Si je souligne la permanence du questionnement que montrent ces deux citations c'est parce qu'elles révèlent également l'un des ressorts essentiels de l'économie sociale : la réponse d'individus entreprenants et regroupés à des questions qui relèvent d'une sorte d'intérêt général partiel : l'utilité sociale. Ce supplément d'engagement citoyen, basé sur une plus grande responsabilisation des individus dans l'organisation de la réponse sociale (tant pour le bénéficiaire que pour l'offreur de services), ne répond-il pas à une obligation permanente ? Cet engagement n'est-il pas rendu indispensable par le déplacement permanent de la question sociale et les limites financières de l'État providence, et n'est-il pas permis par l'avènement d'une société d'individus de mieux en mieux formés (Castel, 1994) ? Et cette nécessité n'est pas franco-française : « Maintenant que les secteurs public et marchand ne sont plus en mesure d'assurer certains des besoins fondamentaux des populations, les gens n'ont guère mieux à faire que de prendre une fois de plus leurs affaires en main et recréer des collectivités locales viables...». De façon distincte à ce que nous dit Rifkin des USA (où l'on n'accorde pas la même place au rôle de l'État qu'en France) et qui présente le développement du secteur à but non lucratif comme « une vie après le marché », je pense que le temps de l'économie sociale vient, massivement mais insensiblement à l'instar de la dérive des continents. Les données statistiques françaises qui permettent (enfin !) de préciser les contours de l'Économie Sociale montrent une dynamique forte principalement portée par le développement socioéconomique des associations qui est sensiblement supérieure à celle des entreprises privées lorsqu'on lacompare sur la longue période. L'étude internationale Johns Hopkins confirme ce phénomène. Pour Roger Sue, l'émergence d'un secteur associatif qu'il appelle « secteur quaternaire » constitue un véritable pôle de développement social, apte à favoriser la production d'individus plus libres et d'une nouvelle forme de démocratie : la « démocratie économique ». Jean Gadrey, face au risque du dualisme et de la fragmentation sociale veut spécifier des contre modèles économiques qui ont comme point commun une préférence éthique et politique pour la solidarité, le lien social et le développement de liens de réciprocité au sein d'espaces publics autonomes en référence à Habermas. Selon Jean-Marc Oury, l'enjeu consisterait aujourd'hui à s'interroger sur ce qui peut permettre le développement des relations non marchandes de type identitaire au moment où on est en train de passer d'une société marchande à une société post-marchande11. Mais si la production de lien social est constamment la finalité poursuivie par les agents de l'économie sociale et ce indépendamment de la nature des biens ou services offerts12 (qui peuvent progressivement s'inscrire également dans la sphère publique ou marchande13), alors la volonté de faire société en utilisant de véritables « entreprises associatives » ne s'inscrit pas dans les deux paradigmes dominants, celui du marché et celui du public ; sans pour autant les contredire mais plutôt en les complétant. C'est donc d'un nouveau paradigme dont nous oserions parler ici : le pôle « privé-public » s'inscrivant dans une « économie relationnelle », dont il faudrait rendre explicites les principes d'action et les modalités de gestion. A l'instar de "l'économie relativiste" de Jean-Marc Oury qui postule que toutes les activités ont comme finalité le développement et l'entretien de la relation, il y aurait une "gestion relationnelle" des affaires. C'est à dire que certaines initiatives socio-économiques sont gérées avec comme finalité le développement de l'identité et des relations entre les hommes, le renforcement du lien social. L'existence d'un véritable pôle « privé – public » prenant au fil du temps une grande importance, à la fois sur le plan économique et sur le plan social, repose sur une croyance ancienne, celle du bonheur social que les promesses du marché ou de la puissance publique ne savent pas entretenir durablement. Je suggère que le développement de l'économie sociale, principalement sous la forme associative depuis 35 ans, est une conséquence des initiatives prises par de véritables entrepreneurs sociaux réunis par une vision commune du progrès social : le mieux être social résulte en premier lieu d'un rapport à autrui qui postule la richesse de l'altérité où le développement des liens de réciprocité précède et s'impose au développement de richesses économiques. La célèbre théorie du déversement d'Alfred Sauvy14 du secteur primaire vers le secteur secondaire, puis vers le secteur tertiaire, ne marque pas la fin de l'agriculture ni de l'industrie ni des services, bien au contraire. Il s'agit plutôt de la succession de modèles dominants d'organisation socioéconomique. Aujourd'hui, l'économie de la connaissance, l'économie relationnelle, la multiplication des services aux personnes ne soulignent-elles pas à leur tour l'apparition progressive d'un autre modèle socioéconomique dominant qui correspondrait à celui de l'économie sociale

Question sociale et Économie sociale : l'adaptation permanente

Bien malin celui qui peut dire aujourd'hui, en novembre 2008, si le modèle français de l'Etat providence, si controversé ces dernières années, va être réhabilité ou au contraire subir de nouveaux coups de boutoir ! Le mélange sophistiqué qu'il opère depuis des décennies entre redistribution horizontale (par le système d'assurances mutuelles) et redistribution verticale (par le système fiscal) se déplace, comme la question sociale, au gré d'un contexte social instable et toujours en mouvement. C'est ce que d'aucuns appellent la crise permanente de l'État providence. En fait, n'est-ce pas la notion de progrès social qui devrait être revitalisée par un débat permanent dans un monde qui bouge et se transforme. « Nous comprenons peut-être mieux aujourd'hui que l'État ne peut pas tout et qu'il faut restaurer une plus grande continuité entre l'action individuelle et l'action collective. » Cette citation, en 1995, de Pierre Rosanvallon donnait un plaisant écho à des propos ministériels qui datent de 1894 : « C'est une idée très fausse et encore trop répandue de tout attendre de l'État, en matière d'enseignement comme en beaucoup d'autres. Là, surtout, l'État a fait ce qu'il avait à faire ; le reste dépend du bon vouloir de tous et de l'initiative de chacun.[...] ». Le temps de l'économie sociale est-il venu ? Si je souligne la permanence du questionnement que montrent ces deux citations c'est parce qu'elles révèlent également l'un des ressorts essentiels de l'économie sociale : la réponse d'individus entreprenants et regroupés à des questions qui relèvent d'une sorte d'intérêt général partiel : l'utilité sociale. Ce supplément d'engagement citoyen, basé sur une plus grande responsabilisation des individus dans l'organisation de la réponse sociale (tant pour le bénéficiaire que pour l'offreur de services), ne répond-il pas à une obligation permanente ? Cet engagement n'est-il pas rendu indispensable par le déplacement permanent de la question sociale et les limites financières de l'État providence, et n'est-il pas permis par l'avènement d'une société d'individus de mieux en mieux formés (Castel, 1994) ? Et cette nécessité n'est pas franco-française : « Maintenant que les secteurs public et marchand ne sont plus en mesure d'assurer certains des besoins fondamentaux des populations, les gens n'ont guère mieux à faire que de prendre une fois de plus leurs affaires en main et recréer des collectivités locales viables...». De façon distincte à ce que nous dit Rifkin des USA (où l'on n'accorde pas la même place au rôle de l'État qu'en France) et qui présente le développement du secteur à but non lucratif comme « une vie après le marché », je pense que le temps de l'économie sociale vient, massivement mais insensiblement à l'instar de la dérive des continents. Les données statistiques françaises qui permettent (enfin !) de préciser les contours de l'Économie Sociale montrent une dynamique forte principalement portée par le développement socioéconomique des associations qui est sensiblement supérieure à celle des entreprises privées lorsqu'on lacompare sur la longue période. L'étude internationale Johns Hopkins confirme ce phénomène. Pour Roger Sue, l'émergence d'un secteur associatif qu'il appelle « secteur quaternaire » constitue un véritable pôle de développement social, apte à favoriser la production d'individus plus libres et d'une nouvelle forme de démocratie : la « démocratie économique ». Jean Gadrey, face au risque du dualisme et de la fragmentation sociale veut spécifier des contre modèles économiques qui ont comme point commun une préférence éthique et politique pour la solidarité, le lien social et le développement de liens de réciprocité au sein d'espaces publics autonomes en référence à Habermas. Selon Jean-Marc Oury, l'enjeu consisterait aujourd'hui à s'interroger sur ce qui peut permettre le développement des relations non marchandes de type identitaire au moment où on est en train de passer d'une société marchande à une société post-marchande11. Mais si la production de lien social est constamment la finalité poursuivie par les agents de l'économie sociale et ce indépendamment de la nature des biens ou services offerts12 (qui peuvent progressivement s'inscrire également dans la sphère publique ou marchande13), alors la volonté de faire société en utilisant de véritables « entreprises associatives » ne s'inscrit pas dans les deux paradigmes dominants, celui du marché et celui du public ; sans pour autant les contredire mais plutôt en les complétant. C'est donc d'un nouveau paradigme dont nous oserions parler ici : le pôle « privé-public » s'inscrivant dans une « économie relationnelle », dont il faudrait rendre explicites les principes d'action et les modalités de gestion. A l'instar de "l'économie relativiste" de Jean-Marc Oury qui postule que toutes les activités ont comme finalité le développement et l'entretien de la relation, il y aurait une "gestion relationnelle" des affaires. C'est à dire que certaines initiatives socio-économiques sont gérées avec comme finalité le développement de l'identité et des relations entre les hommes, le renforcement du lien social. L'existence d'un véritable pôle « privé – public » prenant au fil du temps une grande importance, à la fois sur le plan économique et sur le plan social, repose sur une croyance ancienne, celle du bonheur social que les promesses du marché ou de la puissance publique ne savent pas entretenir durablement. Je suggère que le développement de l'économie sociale, principalement sous la forme associative depuis 35 ans, est une conséquence des initiatives prises par de véritables entrepreneurs sociaux réunis par une vision commune du progrès social : le mieux être social résulte en premier lieu d'un rapport à autrui qui postule la richesse de l'altérité où le développement des liens de réciprocité précède et s'impose au développement de richesses économiques. La célèbre théorie du déversement d'Alfred Sauvy14 du secteur primaire vers le secteur secondaire, puis vers le secteur tertiaire, ne marque pas la fin de l'agriculture ni de l'industrie ni des services, bien au contraire. Il s'agit plutôt de la succession de modèles dominants d'organisation socioéconomique. Aujourd'hui, l'économie de la connaissance, l'économie relationnelle, la multiplication des services aux personnes ne soulignent-elles pas à leur tour l'apparition progressive d'un autre modèle socioéconomique dominant qui correspondrait à celui de l'économie sociale ?